Aufmerksam auf sein großes Talent wurde man, als er 1985 den Sibelius- und 1988 den Paganini- und den Naumburg-Wettbewerb gewann. Seither arbeitet Kavakos weltweit mit herausragendsten Orchestern und Dirigenten zusammen. In der Saison 2012/2013 lag ein besonderer Fokus auf Engagements beim London Symphony Orchestra und auf seiner Funktion als Artist in Residence bei den Berliner Philharmonikern.

2013/2014 debütierte Kavakos bei den Wiener Philharmonikern unter Riccardo Chailly und gastierte in Deutschland etwa in München, Köln, Hamburg und Berlin. Kavakos ist engagierter Kammermusiker und regelmäßiger Gast bei den Festivals in Verbier, Montreux, Bad Kissingen, Edinburgh oder Salzburg. Zu seinen Kammermusikpartnern zählen die Capuçon-Brüder, Antoine Tamestit, Nikolai Lugansky, Denis Kozhukhin und Yuja Wang.